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Calcul de limites mathématiques: Voici la méthode la plus simple et la plus rapide qui soit


La  règle de L' Hôpital permet de résoudre de nombreux cas d' indétermination des limites de fonctions en un point x = a .

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 En principe, nous allons le dire comme ceci:

 Une limite indéterminée de la forme:

lho0.gif (301 octets)]

L vaudra , si L est aussi la limite en x = a du quotient des dérivés du numérateur et du dénominateur, soit:

lho1.gif (571 octets)]

De cette manière, nous pouvons résoudre des indéterminations de type 0/0. Regardons un exemple.

 EXEMPLE 1 : Trouvez la limite:

lho2.gif (232 octets)]

Cette limite a la forme indéterminée 0/0, on peut donc appliquer la règle de L' Hôpital:

lho3.gif (674 octets)]

limite qui a toujours la forme indéterminée 0/0, mais à laquelle la règle de L' Hôpital peut être appliquée à nouveau:

lho4.gif (256 octets)]

qui est finalement la valeur de la limite.

 Mais la règle de L' Hôpital est beaucoup plus générale, puisqu' elle s' applique non seulement à l' indétermination 0/0, mais aussi aux indéterminations:  (

infinity.gif (65 octets)]

infinity.gif (65 octets)]

)

, ( 0 × 

infinity.gif (65 octets)]

)

, ( 

infinity.gif (65 octets)]

infinity.gif (65 octets)]

)

.

 Par exemple, une indétermination de type 

infinity.gif (65 octets)]

infinity.gif (65 octets)]

(infinie divisée par infinie)

, proviendra d' une limite de la forme:

lho7.gif (309 octets)]

où les deux fonctions f (x) et g (x) tendent vers l' infini en x = a , et cette limite ne varie évidemment pas si on l' exprime sous la forme:

lho8.gif (422 octets)]

et maintenant il a la forme 0/0. Au final, l' indétermination 

infinity.gif (65 octets)]

infinity.gif (65 octets)]

 n' est pas différente de 0/0.

EXEMPLE 2 : Trouvez la limite:

lho5.gif (224 octets)]

 Cette limite prend en principe la forme indéterminée 

infinity.gif (65 octets)]

infinity.gif (65 octets)]

, et nous la résolvons en appliquant directement la règle de L' Hôpital:

lho6.gif (491 octets)]

REMARQUE : Il n' est pas nécessaire de passer la limite à 0/0 indétermination avant d' appliquer la règle de L' Hôpital. Bien que (f '  / g ' ) soit différent de (1 / g ) ' / (1 / f' ), en revanche ils ne sont pas différents pour notre cas de limites au point x = a .

 Quant aux indéterminations de type 0 × 

infinity.gif (65 octets)]

, elles apparaissent dans les limites des produits de fonctions f (x) × g (x) lorsque l' une d' elles, par exemple f (x) tend vers 0, et l' autre, g (x) , tend à 

infinity.gif (65 octets)]

. Dans ce cas, nous exprimerons la limite sous la forme:

lho9.gif (459 octets)]

et comme 1 / g (x) tendra vers 0, on obtient la forme typique 0/0, à laquelle la règle de L' Hôpital peut être appliquée directement.

EXEMPLE 3 : Trouvez la limite:

lhoa.gif (275 octets)]

Cette limite a la forme 0 × 

infinity.gif (65 octets)]

( 0 multiplié par infinie)

, donc, nous opérons comme nous l' avons dit:

lhob.gif (753 octets)]

ayant exprimé l' inverse de la tangente comme cotangente , dont la dérivée est: - 1 / (sinus) ², soit:

lhoc.gif (639 octets)]

 Un autre type d' indétermination que peut réaliser la règle de L' Hôpital est la forme 

infinity.gif (65 octets)]

infinity.gif (65 octets)]

(infinie infinie )

, qui apparaît dans les limites d' une soustraction, c' est- à- dire quand on a: f (x)- g (x),  et les deux fonctions en x = a sont faits + 

infinity.gif (65 octets)]

. Dans ce cas, l' identité suivante doit être prise en compte:

lhod.gif (322 octets)]

et si en x = a les fonctions f et g sont infinies, l' expression avec leurs inverses sera 0, de sorte que fg sera égal à 0/0; Cependant, pour appliquer la règle de L' Hôpital, il faut dans ce cas transformer fg en une expression qui inclut un quotient , comme dans l' exemple suivant:

EXEMPLE 4 : Trouvez la limite:

lhoe.gif (385 octets)]

Cette limite a la forme 

infinity.gif (65 octets)]

infinity.gif (65 octets)]

, et avant d' appliquer la règle de L' Hôpital, nous devons la mettre sous la forme d' un quotient:

lhof.gif (571 octets)]

Exprimé comme ceci, le quotient a la forme 0/0, et cette règle peut être appliquée:

lhog.gif (559 octets)]

 Enfin, nous allons voir quelques exemples dans lesquels la règle de L' Hôpital doit être appliquée à l' exposant. Ce sont des indéterminations du type: 0 °, 

infinity.gif (65 octets)]

° 

unoinf.gif (66 octets)]

, , qui proviennent des limites d' une fonction f (x) élevée à une autre fonction g (x) , pour leur résolution il convient de prendre en compte l' identité suivante:

identie.gif (118 octets)]

en tenant compte de cette identité, qui s' écrit généralement par commodité: A = exp (log A), on peut mettre:

identif.gif (395 octets)]

et maintenant si nous trouvons une limite en x = a de cette fonction exponentielle , nous calculerons la limite dans l' exposant , c' est- à- dire entre parenthèses de " exp" , spécifiquement la limite de (g × log f ), qui peut être, par exemple, de la forme 0 × 

infinity.gif (65 octets)]

, dont la manière de résoudre est celle de l' exemple 3.

EXEMPLE 5 : Trouvez la limite:

lhoh.gif (145 octets)]

 Cette limite a la forme indéterminée 0 °, et comme nous l' avons dit, elle peut être exprimée:

lhoi.gif (424 octets)]

À l' intérieur des parenthèses (l' exponentielle), nous avons une indétermination 0 × 

infinity.gif (65 octets)]

, et maintenant nous allons procéder comme ceci:

lhoj.gif (771 octets)]

lhok.gif (586 octets)]

REMARQUE : Certains de ces types de limites sont généralement définis d' une autre manière- équivalente à celle que nous avons vue ici- que nous allons exposer:

 À partir de l' équivalence:

lhol.gif (306 octets)]

et maintenant ils résolvent la limite de (g × log f ) par la règle de L' Hôpital, comme nous le faisons ici, et si le résultat de cette limite est " A" , alors:

log y = A

donc l' ordre limite, et il sera élevé à ce nombre . Dans notre exemple 5, puisque la limite de (g × log f ), c' est- à- dire que la limite de (3 x.  Log x) est 0, la limite demandée est e " élevée à 0" , comme nous l' avons vu précédemment.

Nb: l' utilisation de cette méthode n' est autorisée dans les lycées ivoiriens, ainsi nos lecteurs ivoiriens ne pourront l' utiliser que pour verifier leurs différents calculs.

EXERCICES POUR L' ÉTUDIANT

lhom.gif (2463 octets)]

SOLUTIONS:

a)  0.  b) - 1/3  c)  4 p ³  d)  - 1  e) 2 / p    f) 0  g) 1/2  h) 1 / e i) 1  j) 1.

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By Anicet

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